建模。两问都是「权利比较」题：把每份期权拆成权利束，比较谁包含谁。

推导。第一问：美式持有者可行使欧式的全部策略（持有到期），另加任意提前行使的权利，权利是期权、义务不存在，故 \(V_{\text{美式}}\ge V_{\text{欧式}}\)。等号条件：无分红股票的 call——提前行使必然劣于卖出期权（提前付 \(K\) 损失利息且放弃时间价值），行使权价值为零，两者相等；有分红的 call 与任何 put（含无分红）都可能严格不等。第二问：设短期限 \(T_1\)、长期限 \(T_2\)。长期限期权在 \(T_1\) 时刻仍未到期，其持有者可以选择「当作 \(T_1\) 到期来用」，可行策略严格更多。对美式期权或无套利下的一般欧式 call，长期限不便宜：\(V(T_2)\ge V(T_1)\)。

检验（反例自查）。「长期限更贵」并非铁律，两个经典反例：① 欧式深度实值 put + 高利率：价值逼近 \(Ke^{-rT}-S\)，\(T\) 越大贴水越深，长期限反而便宜；② 欧式 call 若在 \(T_1\) 之后不久有一次大额分红，长期限的标的被除权下砸，远期 \(Se^{(r-q)T}\) 更低，长期限 call 可能更便宜。能举出反例是这道题的满分线。

面试怎么讲。结构：「美式 = 欧式 + 提前行使权 → 不便宜；无分红 call 取等号（利息 + 时间价值双重惩罚）；期限长的权利更多 → 通常更贵，但欧式 put 的贴现反例与大分红反例说明这不是公理。」

建模。参数清单即 F6 的六输入（\(S,K,T,\sigma,r,q\)，外加模型选择）。欧式价格可由 BS（或同一棵树的欧式回溯）给出；美式 = 欧式 + 提前行使溢价，用二叉树逐节点「取 max」把它算出来。

推导。两期二叉树数值例：\(S_0=100\)，\(K=100\)，\(u=1.2\)，\(d=0.8\)，每期利率 5%，风险中性概率 \(p=(1.05-0.8)/(1.2-0.8)=0.625\)。欧式 put：到期 payoff 为 \(uu{:}\,0\)、\(ud{:}\,4\)、\(dd{:}\,36\)，期望 \(0.46875\times 4+0.140625\times 36=6.9375\)，贴现得 \(6.9375/1.05^2\approx 6.29\)。美式 put：在下行节点 \(S=80\) 处，内在价值 20，持有价值 \((0.625\times 4+0.375\times 36)/1.05\approx 15.24\)，行使更优，节点价值取 20；回溯到根：\((0.625\times 1.43+0.375\times 20)/1.05\approx 7.99\)。提前行使溢价 \(\approx 7.99-6.29=1.70\)。

检验。溢价为正符合「美式 \(\ge\) 欧式」；把利率改为 0 重算，下行节点行使价值与持有价值相等（20 vs 20），溢价缩小——与「提前行使的主要动力是 K 的利息」一致。树步数加密后值收敛（收敛速度 \(O(1/n)\)）。

面试怎么讲。口径：「同一到期日时，美式 = 欧式 + 提前行使溢价；欧式部分我用 BS/树的欧式公式，溢价部分我在树上每个节点做 \(\max(\text{内在价值},\text{持有价值})\) 回溯。无分红 call 两者相等，不用另算。」

建模。长 straddle 的损益来自「实现与隐含的差」。两只股票的差都是 5 个 vol 点（25−20 与 35−30），一阶看是平局，决定胜负的是二阶口径。

推导。一阶（vega 口径）：期望损益 \(\approx\text{vega}\times(\sigma_r-\sigma_i)\)。同价同期权平值 vega \(\approx 0.4\,S\sqrt{T}\) 相同，两边同得 \(0.4S\sqrt{T}\times 5\%\)，打平。二阶（对冲组合 gamma 口径）：由 \(\mathrm{dPnL}=\tfrac{1}{2}\Gamma S^2(\sigma_r^2-\sigma_i^2)\mathrm{d}t\)，损益按方差差结算：A 的边际为 \(0.25^2-0.20^2=0.0225\)，B 为 \(0.35^2-0.30^2=0.0325\)——每单位 gamma B 多 44%。修正项：平值 \(\Gamma\propto 1/(\sigma\sqrt{T})\)，B 的初始 gamma 略低（\(0.0325/0.30\approx 0.108\) 对 A 的 \(0.0225/0.20=0.1125\)），几乎抵消；但 B 的实现波动更大、路径把期权更多时间推入高 gamma 的活跃区，做市商的标准口径按方差差结算。答案：B。

检验。反向口径自查：若按权利金收益率（ROI）比较，edge/权利金 \(\propto(\sigma_r-\sigma_i)/\sigma_i\)，A 为 25%、B 为 16.7%，A 反超——所以这题的完整答案要说明比较口径；题库答案 B 采用的是绝对损益、方差差结算的做市口径。

面试怎么讲。分三层：① 一阶 vega 口径平局（都是 5 个点）；② 损益真正按 \(\sigma^2\) 结算，\(0.0325\gt 0.0225\)，B 胜；③ 主动指出 ROI 口径会翻向 A——展示你理解「vol 点数相同不等于损益相同」，这是本题真正的考点。

建模。平值 vega \(\approx 0.8\,S\sqrt{T}\)（straddle，两倍单腿），只随剩余期限 \(T\) 变化。

推导。一个月按 21 个交易日计，过 5 天剩 16 天：

即 vega 下降约 13%。且衰减在加速：vega 对剩余时间的导数绝对值为 \(0.8S/(2\sqrt{T})\)，\(T\) 越小每过一天掉的 vega 越多——若从 10 天掉到 5 天，vega 要掉 \(1-\sqrt{1/2}\approx 29\%\)。

检验。极限自检：到期日 \(T\to 0\)，平值 vega \(\to 0\)，与「最后一秒波动率观点无法再变现」一致；对比 gamma：平值 gamma \(\propto 1/\sqrt{T}\) 随到期上升——vega 在缩水、gamma 在变大，两者不矛盾（gamma 是每单位价格变动的对冲收益，vega 是每单位隐含波动的敞口）。

面试怎么讲。「平值 vega 正比 \(\sqrt{T}\)，5/21 天后乘 \(\sqrt{16/21}\approx 0.87\)；短端 vega 衰减最快，这也是临近到期 theta 最痛、gamma 最肥的原因。」一句话把 vega、theta、gamma 的期限结构串起来。

建模。差异来源按「数据、模型、市场」三层排查，这是执行/做市岗位的现实工作流。

推导（口径）。① 数据层：期权盘口宽且陈旧——短端期权流动性差，mid 价可能来自几小时前的报价，隐含波动率虚高/虚失真；标的价格时间戳不对齐。② 模型层：波动率曲面的插值与外推方式不同（短端、深虚值处尤其敏感）；分红假设不同——下周若有除息日或分红公告不确定，短端 call/put 对它极其敏感；贴现曲线与利率假设不同；Bloomberg 面是平滑过的模型面，你的系统可能用原始成交。③ 市场层：事件溢价——财报、央行议息就在下周，做市商真实报出的隐含波动率高于任何历史面；宽尾/崩盘溢价的买卖不平衡。④ 最后先查自己：合约规格、行权价是否同一只、反解隐含波动率是否收敛失败用了 fallback。

检验。内部一致性检验：用 put-call parity 反推合成远期 \(Se^{-qT}=C-P+Ke^{-rT}\)，若合成远期与现货币种偏离，说明数据/假设有错而非市场异象。

面试怎么讲。「差异 ≠ 套利。我先分数据、模型、市场三层排查：报价新鲜度、曲面插值、分红与利率假设、然后才是事件溢价。最后用 parity 做一致性检验。」展现的是排查框架而不是背清单。

建模。利率市场的面试常客。par swap 约定：固定腿现值 = 面值。bootstrapping 从最短期限开始，逐段解出贴现因子（discount factor），不依赖任何模型假设，只依赖插值规则。

推导。平价条件（面值 1、年度支付）：\(c_n\sum_{i=1}^{n}DF_i=1-DF_n\)。设 1 年期 par 利率 5%、2 年期 par 利率 6%。第一期只有一项：\(0.05\,DF_1=1-DF_1\Rightarrow DF_1=1/1.05\approx 0.9524\)。第二期代入：\(0.06(DF_1+DF_2)=1-DF_2\)，解得 \(DF_2=(1-0.06\times 0.9524)/1.06\approx 0.8895\)，对应 2 年期零利率 \(z_2=DF_2^{-1/2}-1\approx 6.03\%\)。

检验。零利率 6.03% 高于两个 par 利率、且高于 1 年期——由贴现因子单调性自洽；若解出的 \(DF\) 不单调递减或出现负利率，说明输入 par 利率本身存在套利，应先清洗数据。

面试怎么讲。「bootstrapping 是把一串平价利率逐段换成贴现因子的机械算法：第 \(n\) 期的方程里只有 \(DF_n\) 未知，前面的都已解出，代入即可。它与期权无关、无模型风险，swap 曲线因此成为衍生品定价的贴现基准。」