#022. 概率九：随机过程与灭绝
#学习目标：种群会不会断代
一个单细胞生物每一代等可能地死亡、保持一个、分裂成两个或三个——长远看这个种群会灭绝吗？概率是多少？这类问题的答案是量化面试「随机过程」板块的常客：它考的不是计算量，而是一个结构性洞察——灭绝概率是某个生成函数方程的根，而「会不会必然灭绝」只由后代的均值决定。均值不超过 1，断代是宿命；均值超过 1，灭绝仍有可能，概率是那个小于 1 的根。
本章先把 Galton–Watson 分支过程（Galton–Watson branching process）的框架立起来：种群为一组独立同分布的「后代数」，工具是概率母函数（probability generating function）与不动点方程。然后逐题解决：单细胞生物四状态题（根是 \(\sqrt2-1\)）、糖果袋「只吃一种颜色」的阶段法期望，最后补齐泊松分裂这一最重要的参数族——它对应的统计源题 S36 在 029 章还会从多元高斯的角度再出现。
每个个体独立产生随机个数后代；灭绝当且仅当某代总数为零。人口的对数增长率由后代均值决定。
灭绝概率 \(q\) 满足 \(q=g(q)\)，\(g(s)=E[s^K]\) 是后代数的母函数。解方程、取最小非负根。
「只吃红、蓝放回」的糖果袋按剩余红糖数分阶段，每阶段是几何分布，期望调和级数求和。
- 我能判断一道题是不是分支过程题：关键词是「每一代/每一次分裂/每一个个体独立产生若干后代」。
#知识点一：Galton–Watson 分支过程
模型：从单个祖先开始，每个个体独立地产生 \(K\) 个后代（\(K\) 是取非负整数的随机变量，分布 \(\{p_k\}\)），产生完后自身消亡；下一代每个个体重复同样的规律。第 \(t\) 代人口 \(Z_t\) 满足递推
其中 \(K_{t,i}\) 相互独立同分布。灭绝定义为存在 \(t\) 使 \(Z_t=0\)——一旦归零，永远归零，所以「灭绝」是全体「第 \(t\) 代全灭」事件的并。
概率母函数：\(g(s)=E[s^K]=\sum_k p_k s^k\)。怎么读：把后代的分布压缩成一个幂级数，\(g\) 的系数即分布，\(g(1)=1\)，\(g'(1)=E[K]\)。
一代分解方程：设 \(q=P(\text{最终灭绝})\)。按祖先的第一代后代数 \(K=k\) 分解：\(k\) 个子代各自独立地面临同样的灭绝命运，条件概率为 \(q^k\)，故 \(q=\sum_k p_k q^k=g(q)\)。
取哪个根：\(q\) 是 \(g(s)=s\) 在 \([0,1]\) 上的最小非负根。直观验证：第 \(t\) 代全灭的概率 \(q_t=g^{\circ t}(0)\)（\(g\) 迭代 \(t\) 次）单调上升收敛到极限，该极限是最小不动点。
灭绝判据：若 \(E[K]\le 1\)（且 \(P(K=1)\lt 1\)），则 \(q=1\)：必然灭绝，亚临界与临界情形都逃不掉；若 \(E[K]\gt 1\)（超临界），\(q\lt 1\)，存活概率 \(1-q\gt 0\)。
判据的直觉：\(E[Z_t]=E[K]^t\) 是人口的期望轨迹。均值小于等于 1 时期望不增长，而人口的波动（一旦归零无法恢复）使随机版本必然衰亡；均值大于 1 时期数指数膨胀，虽然仍有可能在早期倒霉全灭，但「挺过早期」的路线有正概率无限存活。临界情形 \(E[K]=1\) 最反直觉：期望永远持平，灭绝却仍是必然，只是 \(P(Z_t\gt 0)\) 衰减得很慢（约 \(\frac{2}{\mathrm{Var}(K)\,t}\)）。
「\(k\) 个独立子代各自灭绝」的概率是 \(q\) 的 \(k\) 次幂——把「求数乘积的期望」自然引向母函数 \(E[s^K]\)。分支过程的全部一维问题（灭绝、各代分布、总人数）都可以用 \(g\) 的迭代回答；多维问题（两种类型互转）则需向量值母函数，超出面试范围但值得知道名字。
#知识点二：灭绝判据与泊松分裂
泊松后代族。最重要的参数族是 \(K\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)（细菌分裂、链式反应、姓氏传承的常用模型）：母函数 \(g(s)=e^{\lambda(s-1)}\)，灭绝概率满足
这个超越方程没有闭式解，标准解法是不动点迭代：\(q_{t+1}=g(q_t)\) 从 \(q_0=0\) 出发单调上升收敛到最小不动点——注意这并不是数值技巧，而恰恰是「第 \(t\) 代全灭概率」的真实递推，迭代本身就是概率意义。例：\(\lambda=1.5\) 得 \(q\approx 0.417\)，\(\lambda=2\) 得 \(q\approx 0.203\)；\(\lambda=0.8\) 时方程除 1 外无 \([0,1)\) 内的根，必然灭绝。
与二项、均匀族的对照。同样均值下不同分布的灭绝概率不同但同向：均值 1.5 的均匀四态（例题 1）给 \(q=\sqrt2-1\approx0.414\)，泊松(1.5) 给 \(q\approx0.417\)——非常接近。这提示：均值是灭绝概率的一阶决定因素，分布形状（方差、高阶矩）只是次级修正。面试中先算 \(E[K]\) 判类，再解不动点方程，两步就是完整答案。
框架的适用边界。三条：后代必须独立同分布——若个体之间互相影响（资源竞争、传染病相依），\(q=g(q)\) 不再成立；后代数不能取无穷（\(E[K]\lt\infty\) 保证判据有效）；「灭绝」只针对人口归零，不描述人口爆炸后的行为（超临界条件概率下人口指数增长，增长率是 \(\log E[K]\)）。另注意本章例题 2 的糖果袋不是分支过程——总糖果数只减不增，没有「繁衍」结构，用的是阶段法，两套工具的选择本身就是考点。
#例题详解 I：单细胞生物灭绝
例题 1（源题 P39）：一个单细胞生物每一代等概率地（各 1/4）处于四种状态：死亡、维持 1 个、分裂成 2 个、分裂成 3 个。这个物种最终灭绝的概率是多少？
建模。标准 Galton–Watson：后代数 \(K\in\{0,1,2,3\}\) 各以 \(\tfrac14\) 的概率取值，从单个祖先出发。灭绝概率 \(q\) 满足一代分解方程。
推导。第一代分解：若祖先死亡（\(K=0\)），灭绝确定；若产生 \(k\) 个后代，\(k\) 个独立支系各自以概率 \(q\) 灭绝，同时灭绝概率 \(q^k\)。加权：
整理成多项式方程并因式分解：
三个根：\(q=1\)、\(q=\sqrt2-1\approx 0.4142\)、\(q=-1-\sqrt2\approx-2.414\)（负根舍去）。均值 \(E[K]=\tfrac{0+1+2+3}{4}=1.5\gt 1\)，过程超临界，灭绝概率取 \([0,1)\) 内的最小非负根：
检验。代回验证：\(\tfrac14(1+0.4142+0.1716+0.0711)=\tfrac14\times1.6569=0.4142\) ✓。数值迭代复核：\(q_{t+1}=g(q_t)\) 从 0 出发：0 → 0.25 → 0.3164 → 0.3545 → 0.3770 → 0.3907 → 0.3988 → … 单调逼近 0.4142 ✓。合理性：均值 1.5 的物种灭绝概率约四成，与泊松(1.5) 的 0.417 几乎相同（知识点二的对照），量级吻合。
面试怎么讲。「一代分解给出 \(q=g(q)\)，即 \(q=\frac{1+q+q^2+q^3}{4}\)；因式分解 \((q-1)(q^2+2q-1)=0\)；均值 1.5 大于 1 是超临界，取小根 \(\sqrt2-1\approx41\%\)。若面试官追问『为什么不是 1』——1 也是不动点，但灭绝概率是最小非负根，迭代从 0 单调升只能到达小根。」
#例题详解 II：糖袋与阶段法
例题 2（源题 P72）：袋里有 \(m\) 颗红糖、\(n\) 颗蓝糖。每次摸一颗：摸到红就吃掉，摸到蓝就放回。平均要摸多少次，红糖被全部吃光？
建模。红糖只减不增、蓝糖永远 \(n\) 颗，因此这是「按剩余红糖数分阶段」的过程，不是分支过程。当袋中还有 \(k\) 颗红糖时，单次摸中红糖（阶段推进）的概率 \(p_k=\frac{k}{k+n}\)，摸中蓝糖则原地踏步——阶段内是成功的几何分布。
推导。阶段 \(k\)（从 \(k\) 颗红糖减到 \(k-1\) 颗）的期望摸次为 \(\frac{1}{p_k}=\frac{k+n}{k}=1+\frac{n}{k}\)。各阶段期望相加：
具体数字：\(m=n=3\)（源题 P83 的「3 红 3 蓝只吃红」同型题）得 \(3+3\,H_3=3+3\times\frac{11}{6}=8.5\)；\(m=5,n=7\) 得 \(5+7H_5=5+7\times\frac{137}{60}\approx 20.98\)。
检验。边界：\(n=0\)（没有蓝糖）时 \(E=m\)，每次必然吃红 ✓；\(m=1\) 时 \(E=1+n\)，与几何分布 \(\frac{1}{1/(1+n)}\) 一致 ✓；\(n\) 越大越慢、\(E\) 随 \(n\) 线性增长，符合「放回的干扰糖果越多越拖时间」的直觉。结构对照：答案里的调和数与 021 章红桃 K 问题（\(52H_{51}\)）同源——都是「阶段成功概率与剩余量成反比」的几何阶段求和。
面试怎么讲。「按剩余红糖数分阶段：剩 \(k\) 颗红时期望 \(1+n/k\) 次，调和求和得 \(m+nH_m\)；3 红 3 蓝就是 8.5。要点是识别『蓝糖放回』让阶段内成为几何分布，而红糖数单调下降保证阶段有限。」
顺带交叉引用：源题 P19（\(N\times N\) 糖果矩阵、两人轮流取行取列避坏糖的博弈）在随机结构上披着概率外衣，本质是策略博弈，完整解答见 024 章；本章不展开。
#例题详解 III：泊松分裂的灭绝概率
例题 3（对接统计源题 S36，详见 029 章）：一种细菌每个个体独立地按泊松分布 \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\) 产生后代。灭绝概率 \(q(\lambda)\) 是多少？求 \(\lambda=1.5\) 与 \(\lambda=2\) 的数值，并说明 \(\lambda\le1\) 时的结论。
建模。后代 \(K\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\)，\(p_k=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)。母函数是指数函数：
推导。一代分解 \(q=g(q)\) 给出超越方程
灭绝判据先行：\(E[K]=\lambda\)。若 \(\lambda\le 1\)（含临界 \(\lambda=1\)），\(q=1\)，必然灭绝——临界情形最容易被漏掉，均值恰好 1 仍然断代。若 \(\lambda\gt 1\)，\(q\lt1\)，用迭代 \(q_{t+1}=e^{-\lambda(1-q_t)}\) 从 \(q_0=0\) 求小根（这正是「第 \(t\) 代全灭概率」序列）。
数值。\(\lambda=1.5\)：迭代 0 → 0.2231 → 0.3362 → 0.3772 → 0.3936 → 0.4004 → … 收敛到 \(q\approx 0.417\)；\(\lambda=2\)：收敛到 \(q\approx 0.203\)。与例题 1 对照：泊松(1.5) 与均匀四态均值同为 1.5，灭绝概率 0.417 对 0.414——均值主导、形状微调的规律再次显现。
检验。单调性与界：\(\lambda\gt1\) 时 \(g'(q)=\lambda e^{\lambda(q-1)}=\lambda g(q)\)，在最小不动点处 \(g'(q)=\lambda q\lt1\)（\(\lambda=2\) 时 \(\approx0.41\)），迭代收敛有保证 ✓。量级：\(\lambda=2\) 的物种灭绝概率约两成、存活约八成，方向与「均值 1.5 的约四成」一致 ✓。\(\lambda=1\) 代入方程：\(q=e^{q-1}\) 在 \([0,1)\) 无根（只有 \(q=1\)），临界必然灭绝对号入座 ✓。
面试怎么讲。「泊松后代的母函数是 \(e^{\lambda(s-1)}\)，灭绝概率满足 \(q=e^{-\lambda(1-q)}\)。先报判据：\(\lambda\le1\) 必然灭绝；\(\lambda\gt1\) 时解超越方程，1.5 对应约 0.417、2 对应约 0.203。再补一句方法论：不动点迭代不是数值近似，而是各代全灭概率的精确递推。」
#误区与边界
一，把大根 1 当灭绝概率：\(q=g(q)\) 常有两个 \([0,1]\) 内的根，超临界时必须取小根——「迭代从 0 出发到达哪个根」是最终裁判。二，忽略临界情形：\(E[K]=1\) 时 \(q=1\)，很多人误以为「均值持平就有机会永生」。三，母函数求导漏链式：\(E[Z_t]=g'(1)^t=E[K]^t\)，每代人口均值乘一个 \(E[K]\)，别把它与灭绝概率混为一谈——期望指数增长与「以正概率灭绝」在超临界下同时成立。四，把阶段法硬套分支过程：糖果袋没有繁衍结构，用 \(q=g(q)\) 无从下手；反过来分支过程也不能用阶段法（阶段数本身随机且无限）。
考官追问的变式：把 P39 的四态改成「死亡 1/2、裂 2 概率 1/2」——\(E[K]=1\) 临界，\(q=1\)，检验对临界情形的敏感度；把初始人口改成 \(Z_0=z\)，灭绝概率变为 \(q^z\)（每支独立）；加入「每个后代以概率 \(p\) 变异成新物种」的双类型模型，需要二维母函数，面试只需说出框架；金融化的版本是「交易员每周期望赚亏比与爆仓概率」——超临界增长与 ruin 概率并存的直觉与分支过程完全同构，可联系 025 章的破产专题。
#检查清单
- 我能写出分支过程的定义与人口递推 \(Z_{t+1}=\sum_{i\le Z_t}K_{t,i}\)，并说明「灭绝 = 某代归零」。
- 我能推导一代分解方程 \(q=g(q)\)，并解释为什么 \(k\) 个子代给出 \(q^k\)。
- 我掌握灭绝判据：\(E[K]\le1\) 必然灭绝，\(E[K]\gt1\) 取小于 1 的最小非负根。
- 我能解出单细胞四态题：因式分解 \((q-1)(q^2+2q-1)=0\)，答案 \(\sqrt2-1\approx41\%\)。
- 我能写出泊松分裂的方程 \(q=e^{-\lambda(1-q)}\)，会用迭代求小根（1.5 → 0.417，2 → 0.203）。
- 我会用阶段法解糖果袋问题 \(E=m+nH_m\)，并说清它与分支过程的本质区别。
- 我能指出临界情形 \(E[K]=1\) 的结论是必然灭绝，并给出直觉解释。
- 我知道超临界下「期望指数增长」与「正概率灭绝」并存，并能举 \(E[Z_t]=E[K]^t\) 说明。