建模。「每场比赛」对应「一对选手」——场数就是 50 人中无序对的个数，这是指示变量计数的最简形态（每对指示变量恒为 1，概率 1）。

推导。每场比赛从 50 人中选 2 人：

指示变量口径：\(\sum_{i\lt j}\mathbf 1_{\{i,j\text{ 赛一场}\}}\)，每项期望 1，共 \(\binom{50}{2}\) 项。

检验。每人打 49 场，共 \(50\times 49\) 人次，每场被数 2 次，除以 2 得 1225——两个口径一致 ✓。小情形 \(n=3\)：\(\binom32=3\) 场，与常识吻合。

面试怎么讲。「1225，一句话：场数等于无序对数 \(\binom{n}{2}\)。」这题是热身，价值在于引出「对」作为计数单元的思想，后面的邻对题全是它的随机版。

建模。一段的定义是「极大同色连续块」，段数 = 1（第一段）+ 后续每次换色各起一段。对 52 个位置中的 51 个相邻间隔定义指示变量：\(I_i=\mathbf 1\{\text{第 }i+1\text{ 张与第 }i\text{ 张颜色不同}\}\)，\(i=1,\dots,51\)。

推导。段数 \(=1+\sum_{i=1}^{51}I_i\)。无论第 \(i\) 张是什么颜色，剩下 51 张中恰有 26 张是另一种颜色（26 张异色、25 张同色，因为第 \(i\) 张已取走一张），故 \(P(I_i=1)=\frac{26}{51}\)。由线性性：

检验。边界：全部同色排一起最少 2 段，完美交替最多 52 段，27 恰好居中略偏小；\(\frac{26}{51}\approx 0.51\) 略高于 \(\tfrac12\)（无放回抽异色比有放回略容易），期望 27 段合理。若换成 13 红 13 黑 26 张小牌堆，同法得 \(1+25\times\frac{13}{25}=14\) 段，公式可伸缩 ✓。

面试怎么讲。「27。定义换色指示变量，51 个间隔每个换色概率 26/51，1+26=27。重点是换色概率不依赖前面任何信息——剩 51 张里异色恒 26 张，所以连条件概率都不用展开。」

建模。两题同构：两类个体随机排列，数「相邻且异类」的对。队列长 \(n\) 时相邻间隔有 \(n-1\) 个，对每个间隔定义指示变量 \(I_i\)。

推导（狐犬）。单个间隔是异类对的概率：第一个位置是狐狸的概率 \(\frac{5}{12}\)，此后第二个位置是狗的概率 \(\frac{7}{11}\)；再对称地加上犬-狐方向：

推导（男女）。队列 17 人有 16 个间隔，单个间隔异性的概率 \(\frac{8}{17}\cdot\frac{9}{16}+\frac{9}{17}\cdot\frac{8}{16}=\frac{144}{272}=\frac{9}{17}\)，故

检验。两题的「间隔异类概率」都等于 \(\frac{2mn}{n(n-1)}\) 形式（\(m\) 与 \(n\) 为两类数量），且都近似 \(2\cdot\)(两类占比之积)——有放回版本狐犬是 \(11\times 2\times\frac{5}{12}\cdot\frac{7}{12}\approx 5.90\)，与 5.83 相差无几，量级吻合 ✓。上界检查：完美交替最多 \(\min(m,n)\times 2=10\)（狐犬）与 16（男女），期望值都在上界的一半略多，合理。

面试怎么讲。「(间隔数)×(单个间隔异类概率)，概率用无放回两连乘加对称项。狐犬 35/6 约 5.83 对，男女 144/17 约 8.47 对。主动声明：间隔之间高度相关，但期望不需要独立。」

建模（红衣）。圆排列中「固定锚点」是最强的对称工具：先钉住一个红衣者的位置（圆的旋转对称使这一步无损），再看另一个红衣者落点。

推导（红衣）。钉住红衣者 A 后，剩 4 个座位对其余 4 人等可能，其中与 A 相邻的座位恰 2 个：

推导（推广）。\(n\) 人围圆桌的圆排列共 \((n-1)!\) 种。把 \(k\) 个朋友捆成一个区块：区块与其余 \(n-k\) 人共 \(n-k+1\) 个对象做圆排列，有 \((n-k)!\) 种，区块内部 \(k!\) 种，故

锚点法复核：钉住朋友 A，区块含 A 且 A 可处于区块内 \(k\) 个位置之一，每种位置对应其余 \(k-1\) 人占据的一个固定座位集，概率 \(\frac{(k-1)!\,(n-k)!}{(n-1)!}\)，乘 \(k\) 种位置同样得 \(k!(n-k)!/(n-1)!\) ✓。取 \(k=2\) 退化为 \(\frac{2}{n-1}\)，与红衣小题一致。

检验。红衣题：\(n=5\)、\(k=2\)，\(\frac{2}{4}=\frac12\) ✓；\(n=3\)、2 人相邻概率 \(\frac{2}{2}=1\)（三人围桌人人相邻）✓。退化边界：\(k=n\)（全员都是「朋友」）时概率应为 1，但公式给 \(\frac{n!\,0!}{(n-1)!}=n\)——因为此时「区块」就是整桌、区块内部自身构成圆排列（循环等价类），区块法不再适用；使用公式时约定 \(k\lt n\)。数值例：\(n=5,k=3\)：\(\frac{3!\,2!}{4!}=\frac{12}{24}=\frac12\)。

面试怎么讲。「红衣：钉住一个人，另一个等可能落 4 座、2 座相邻，1/2。推广：区块法 \(k!(n-k)!/(n-1)!\)，并主动给锚点法复核——两法一致是圆桌题最可靠的自我检查。」

建模。按资深者依次「入座」的顺序看条件概率：第一位资深随便进哪组都行；此后每位资深必须落在「还没有资深」的组里。

推导。第一位资深入组后（占掉某组 1 席），还剩 15 个席位：第二位资深需要落进另外 3 组的 12 个席位，概率 \(\frac{12}{15}\)；此后剩 14 席，第三位要落进剩 2 组的 8 席，概率 \(\frac{8}{14}\)；最后剩 13 席，第四位要落进最后 1 组的 4 席，概率 \(\frac{4}{13}\)。故

检验。计数口径复核（给 4 个组贴标签）：总分配 \(\binom{16}{4}\binom{12}{4}\binom{8}{4}\binom{4}{4}\)；有利分配：4 名资深排进 4 组有 \(4!\) 种，再为各组从 12 名初级中选 3 人：\(\binom{12}{3}\binom{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3}\)。两式相除同样得 \(\frac{64}{455}\) ✓。直觉对照：每组资深数的期望恰为 1（线性性），但「恰好都为 1」的概率只有 14%——期望达标不等于结构达标，这是本题的深层考点。

面试怎么讲。「条件概率连乘 12/15、8/14、4/13，得 64/455 约 14%。再用组合计数复核一遍。最后点题：每组资深期望都是 1，但方差让『整齐分组』成为小概率事件。」

建模。钥匙的分发等价于 \(\{1,\dots,n\}\) 的一个均匀随机排列 \(\pi\)，「有人拿对」即存在不动点 \(\pi(i)=i\)。所求是「零不动点排列」（错排，derangement）的占比。

推导。令 \(A_i\)＝「第 \(i\) 人拿对」。固定某 \(k\) 个人都拿对的概率：其余 \(n-k\) 人任意排列，\(\frac{(n-k)!}{n!}\)；这样的 \(k\) 元子集有 \(\binom nk\) 个。容斥：

这正是 \(e^{-1}\) 的泰勒级数的部分和，\(n\to\infty\) 时趋于 \(\frac1e\approx 36.8\%\)。

检验。数值：\(n=3\) 得 \(\tfrac13\)（6 个排列中 2 个错排）✓；\(n=4\) 得 \(\tfrac{9}{24}=0.375\)；\(n=5\) 得 \(\tfrac{44}{120}\approx 0.3667\)；\(n=10\) 已达 0.36788——收敛极快，\(n\ge 5\) 就可以放心报「约 36.8%」。单人不拿对自己钥匙的概率是 \(\frac{n-1}{n}\to 1\)，但「人人都不拿对」卡在 1/e，朴素近似 \((\frac{n-1}{n})^n\) 也趋于 \(e^{-1}\)——两种口径殊途同归，因为拿对事件之间近似独立（严格说负相关，此处恰好不影响极限）。

面试怎么讲。「容斥，级数是 \(e^{-1}\) 的展开，答案约 36.8%。我会当场写 \(1-1+\tfrac12-\tfrac16\cdots\)，并说明 \(n\) 很小的时候部分和就是精确值。」

建模（虫子）。「大吃小」的碰撞规则看似要模拟一长串相遇，但有一个等价改写：让虫子互相穿过、穿过时交换身份标签。对外部观察者，「大虫吞掉小虫并继续爬」与「两只幽灵穿过、大虫标签跳到前方那只幽灵上」产生完全相同的轨迹。这就是穿隧论证（tunneling argument）。

推导（虫子）。直向论述：最大的虫子速度最快，前方所有虫子都比它慢，迟早逐个被追上；后方虫子都比它小、更慢，永远追不上它。于是它最终吃掉所有虫子——恰剩 1 只，且必定是最大的那只。穿隧口径：幽灵们各自匀速直线运动互不干扰，任意时刻每个位置上有一个标签，最大标签每次「被超过」就前移，最终稳定在最前方的幽灵上；标签总数减到 1。因此期望剩余数 \(=1\)，而且是确定性结果、与初始位置无关。

检验（虫子）。\(n=1\) 剩 1 ✓；\(n=2\)：大的必追上小的，剩 1 ✓；反向变式「虫子可双向爬行」时穿隧论证同样给出「剩 1 只」，但存活的是「初始时刻最靠某方向的」——说明穿隧是比「最大最快」更一般的工具。

推导（Jensen）。\(g\) 凸 \(\Rightarrow E[g(X)]\ge g(E[X])\)；\(g\) 凹 \(\Rightarrow E[g(X)]\le g(E[X])\)。证明：切线不等式 \(g(x)\ge g(\mu)+g'(\mu)(x-\mu)\)（\(\mu=E[X]\)），取期望，线性项消失。等号条件：\(X\) 几乎必然为常数（\(\mathrm{Var}(X)=0\)），或 \(g\) 在 \(X\) 的支撑上是线性的。依赖因素就两个：\(g\) 的凹凸性决定方向，\(X\) 的波动决定缺口宽度。定量例：\(g(x)=x^2\)（严格凸），\(E[X^2]=(E[X])^2+\mathrm{Var}(X)\gt (E[X])^2\) 只要方差为正——「方差非负」本身就是 Jensen 不等式；凹向例：\(E[\ln X]\lt \ln E[X]\)（几何平均不超过算术平均），\(E[\sqrt X]\lt\sqrt{E[X]}\)（样本标准差低估的根源）。

面试怎么讲。「虫子：穿隧论证，等价于互相穿过交换标签，答案恒为 1，与位置无关。Jensen：凸函数下期望的函数 ≥ 函数的期望，方向看凹凸、缺口看方差；主动给 \(E[X^2]\) 与几何平均两个例子，再补一句金融含义——对数财富的期望低于期望财富的对数，这是 Kelly 公式要求按对数效用的根源（见 025 章）。」

建模。连续版首达问题：状态是「距 1 还差多少」。设 \(f(x)\)＝当前和距超过目标还差 \(x\) 时（\(0\le x\le 1\)）的期望追加次数，所求 \(f(1)\)。

推导（递归积分）。再抽一个 \(U\sim U[0,1]\)：若 \(U\gt x\)，一次结束；若 \(U\le x\)，用掉一次后状态变为差 \(x-U\)。分解：

两边求导得 \(f'(x)=f(x)\)，初值 \(f(0)=1\)（差 0 时任何严格正的抽取都结束，期望一次），解出 \(f(x)=e^x\)。故

检验（尾和公式）。换轨道验证：\(P(N\gt n)=P(\text{前 }n\text{ 项之和}\le 1)\) 是 \(n\) 维单位单纯形的体积 \(\frac{1}{n!}\)，于是 \(E[N]=\sum_{n\ge0}P(N\gt n)=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n!}=e\) ✓。数值直觉：两数之和平均为 1，但要「确保超过 1」平均需要约 2.72 个，比 2 多、比 3 少，量级自洽。

面试怎么讲。「递归积分：\(f(x)=1+\int_0^x f\)，求导得 ODE，解 \(e^x\)，答案 \(e\)。交叉验证用尾和公式：\(P(N\gt n)=1/n!\)，级数还是 \(e\)。两个独立方法给出同一个常数，这是最硬的检验。」

建模。关键状态变量是「红桃 K 之下已垫了多少张牌」，记为 \(j\)（初始 \(j=0\)）。K 到顶等价于 \(j=51\)。每轮只有顶牌（必然在 K 之上）被抽出重插：抽出的牌插到 K 之下时 \(j\to j+1\)，否则 \(j\) 不变；K 下方的牌永远不会被抽出（我们只动顶牌），所以 \(j\) 单调不减——过程被简化成一维阶段推进。

推导。当前状态 \(j\)：抽出顶牌后牌堆剩 51 张（K 下方 \(j\) 张、上方 \(50-j\) 张），重插位置共 52 个等可能；落在 K 之下的插法有 \(j+1\) 个（K 正后方、\(j\) 张下方牌之间的 \(j-1\) 个缝、以及最底端）。故每轮推进概率 \(p_j=\frac{j+1}{52}\)，该阶段期望轮数 \(\frac{52}{j+1}\)（几何分布）。总期望：

其中 \(H_{51}=1+\tfrac12+\cdots+\tfrac1{51}\) 是调和数。

检验。小样例全枚举：3 张牌 \([A,B,K]\)，同样规则。阶段一 \(p_0=\tfrac13\) 期望 3 轮；阶段二（一张牌垫到 K 下后）\(p_1=\tfrac23\) 期望 1.5 轮；总期望 \(3\cdot H_2=4.5\) 轮——直接对 3 张牌马尔可夫链求解同样是 4.5 ✓，而「每轮都以 1/3 概率垫牌」的朴素算法给 \(2\times3=6\)，偏大。上界检查：\(52 H_{51}\le 52\times 51=2652\)，朴素值恰是把所有阶段概率都当成最差 \(\frac{1}{52}\) 的上界。逻辑检查：\(\frac{1}{52}\) 只是第一阶段（\(j=0\)）的概率；K 逐步上浮后，「插到 K 之下」的目标越来越大，推进越来越容易，所以真实期望远小于 2652。

面试怎么讲。「把状态定为 K 之下的牌数 \(j\)：每轮顶牌以 \((j+1)/52\) 的概率垫到 K 下，阶段期望 \(52/(j+1)\)，总期望 \(52H_{51}\approx235\) 轮。主动指出常见错误答案 2652：它假设每轮推进概率恒为 1/52，忽略了概率随 \(j\) 增长——这道题的考点恰恰是『阶段概率不是常数』。」