#018. 概率五：贝叶斯判别偏币
#学习目标：看到数据之后，该信哪枚硬币
频率派的检验问「假设硬币公平，数据有多反常」（019 章）；贝叶斯派把问题反过来：「看到这串数据之后，我对手里硬币的信念应该更新到多少」。更新规则只有一条——后验 ∝ 似然 × 先验。当假设只有两枚硬币（公平 vs 某种偏法）时，这条规则化成最方便的赔率形式：
怎么读：数据不直接告诉你谁是谁，它只把先验赔率乘上一个似然比。一连串抛掷的似然比是每一掷证据的连乘，正面把赔率往「偏」的方向推、反面往回拉。这一条公式足够解决本章前半的全部离散判别题；后半处理「偏多少未知」的连续参数——用 Beta 共轭先验，后验仍是 Beta，参数按数出来的正反面相加即可。
离散假设（公平/偏币/双头币）用后验赔率 = 先验赔率 × 似然比，一步到位。
先验 \(\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\) 加 \(h\) 正 \(t\) 反的数据得后验 \(\mathrm{Beta}(\alpha+h,\beta+t)\)，后验均值 \(\frac{\alpha+h}{\alpha+\beta+h+t}\)。
有信号与无信号的最优决策期望收益之差，就是这位「专家」的定价上限——信息是可以用期望收益计价的商品。
#工具一：贝叶斯更新与共轭先验
离散情形按上面的赔率公式操作，全部计算浓缩在似然比里。对「正面率本身是未知数 \(\theta\)」的连续情形，贝叶斯定理写成密度版本：\(f(\theta\mid D)\propto P(D\mid\theta)\,f(\theta)\)。取先验为均匀分布（即 \(\mathrm{Beta}(1,1)\)，对 \([0,1]\) 上的 \(\theta\) 不偏不倚），掷出 \(h\) 正 \(t\) 反后：
怎么读：数据只是把先验的两个参数各加上数出来的正、反面数——这就是共轭（conjugacy）的便利。后验均值是 \(\frac{1+h}{2+h+t}\)，比最大似然估计 \(\frac{h}{h+t}\) 略向 \(\tfrac12\) 收缩，样本越大收缩越不明显。特别地，先验均匀、只掷一次且是正面：\(\theta\mid H\sim\mathrm{Beta}(2,1)\)，密度 \(f(\theta\mid H)=2\theta\)——看到正面后我们相信「偏正」更可能，信念的重心从 0.5 移到 \(\tfrac23\)。
面试里先验通常由题面直接给（「999 枚公平、1 枚双头」就是 1:999 的先验赔率），没给时用均匀先验并声明。要敏感的是结论对先验的依赖：稀有的异常（万分之一的双头币）需要非常强的数据才能翻身；相反先验五五开时，一点数据就足以压倒性地改变信念。答贝叶斯题先报先验，是这个领域的礼貌。
#工具二：似然比与证据强度
对固定的偏币假设 \(p\)，一段含 \(h\) 正 \(t\) 反的序列相对公平币的似然比是：
怎么读：每个正面把赔率乘 \(2p\)、每个反面乘 \(2(1-p)\)，顺序无关、只数个数——这就是「证据可加（对数上）」。由此立刻得到两个有用的判断。其一，对偏向正面的偏币（\(p\gt\tfrac12\)），反面是反向证据：它把赔率乘一个小于 1 的数。其二，比较「一次 H」与「三次 HTH」哪个更像偏币，就是比较 \(2p\) 与 \(8p^2(1-p)\)，而
等号只在 \(p=\tfrac12\) 成立——对任何偏向正面的偏币，单独一个正面比 HTH 更强的证据（例题 3 展开）。另外要区分两种「更偏」：统计显著性（证据多硬，用 z 值度量）与效应量（偏得多少，用偏离幅度度量），两者可以指向相反的答案（例题 6）。
#例题详解 I：一千枚硬币里的一枚双头币
例题 1：1000 枚硬币里有 999 枚公平币和 1 枚双头币（两面都是正面）。任取一枚连掷 10 次，全是正面。这枚是双头币的概率是多少？
建模。两个假设：\(U\)（双头币，先验 \(\tfrac1{1000}\)）与 \(F\)（公平币，先验 \(\tfrac{999}{1000}\)）。数据 \(D\)=10 连正。用赔率形式：先验赔率 \(\tfrac{1}{999}\)，似然比 \(\tfrac{P(10H\mid U)}{P(10H\mid F)}=\tfrac{1}{2^{-10}}=1024\)。
推导。
检验。直觉核对：先验说双头币比公平币罕见 999 倍，但 10 连正在公平币下只有 \(\tfrac1{1024}\) 的概率，两个力量几乎精确抵消（999 对 1024），后验刚好越过一半。敏感性：若掷 11 次，LR 翻倍到 2048，后验跳到 \(\tfrac{2048}{2048+999}\approx 0.672\)；掷 20 次已几乎确凿。反之掷 3 次时 LR=8，后验仅 \(\tfrac8{1007}\lt1\%\)——罕见的异常需要惊人的数据才能翻案。
面试怎么讲。写出「先验赔率 1:999 × 似然比 1024 = 后验赔率 1024:999」，报 \(\tfrac{1024}{2023}\approx 50.6\%\)；主动点出「证据强度与稀有度的赛跑」这个框架，并给出 11 连正时后验大幅跳升的敏感性分析。
#例题详解 II：两硬币判别一族
例题 2：只掷一次得到正面（H）的硬币，和掷三次得到 HTH 的硬币，哪个更可能是偏向正面的偏币？
建模。设偏币假设为正面率 \(p\gt\tfrac12\)。比较两组数据相对公平币的似然比：单个 H 给 \(\mathrm{LR}_1=2p\)；HTH 给 \(\mathrm{LR}_2=(2p)^2\cdot 2(1-p)=8p^2(1-p)\)。
推导。作差：
等号仅当 \(p=\tfrac12\)。对任何 \(p\gt\tfrac12\)，\(\mathrm{LR}_1\gt\mathrm{LR}_2\)：一次 H 是更强的偏币证据。代入 \(p=\tfrac23\)：\(\mathrm{LR}_1=\tfrac43\approx1.333\)，\(\mathrm{LR}_2=\tfrac{32}{27}\approx1.185\)。
检验。直觉核对：HTH 里那个 T 是反向证据（因子 \(2(1-p)\lt1\)），它抵消掉一部分正面的推力；一次 H 虽短但全是同向证据。特例验证：\(p\to1\) 时 \(\mathrm{LR}_2=8p^2(1-p)\to0\)——几乎双头的币掷出 T 几乎不可能，HTH 反而强烈否定它。
面试怎么讲。反直觉题，答案要抢在推导前给出：「一次 H 更可疑」。理由一句话：「证据看乘积不看长度，T 是反向证据」；然后把 \(2p(2p-1)^2\) 这一步亮出来。若被追问「偏的方向未知呢」：那 HTH 含正反各半、方向信息更弱，结论只会更强。
例题 3：一枚公平币与一枚正面率 \(\tfrac23\) 的偏币。先任取一枚掷一次得正面；再取另一枚掷三次得两个正面（如 HHT）。问第一枚（掷一次出正面的那枚）是偏币的概率？哪一枚更可能是偏币？
建模。源题库里这一族题反复出现（措辞略有差异：三次具体顺序 HHT 或「恰好两个正面」，答案相同），统一模型：硬币 A 掷 1 次得 H；硬币 B（另一枚）掷 3 次得 2 正 1 反。假设 \(H_A\)：A 是偏币（B 公平）；\(H_F\)：A 是公平币（B 是偏币）。先验各 \(\tfrac12\)。
推导。两个似然：
（B 掷三次恰两个正面：\(\binom32(\tfrac23)^2(\tfrac13)=\tfrac{12}{27}=\tfrac49\)，公平币乘 \(\tfrac12\)、偏币情形 A 的一个正面乘 \(\tfrac23\)。特定顺序 HHT 的组合数 \(\binom32=3\) 在两个假设下同乘同除，后验不变。）后验：
检验。结论：掷一次得正面的那枚更可能是偏币（9:8 的后验赔率）。这与例题 2 一脉相承——单次正面（似然比 \(\tfrac43\)）胜过「三次两正」的证据（\(\tfrac49\) 对 \(\tfrac12\)，似然比 \(\tfrac89\lt1\)，它其实是偏向「公平」的证据）。量级合理：两组证据都不强，后验只温和地偏离 \(\tfrac12\)。
面试怎么讲。先声明「两枚硬币各掷各的、假设是联动的（A 偏则 B 公平）」，避免把自己绕晕；然后按假设分别算联合似然 \(\tfrac14\) 与 \(\tfrac29\)，报 \(\tfrac9{17}\)；最后用例题 2 的「单次正面更强」解释为什么赢家是只掷一次的那枚。
例题 4：一枚双面都是正面的 HH 币和一枚一面正一面反的 HT 币。任取一枚连掷 4 次全是正面。它是 HH 币的概率是多少？
建模。先验各 \(\tfrac12\)；HH 币掷出 4 连正的概率是 1，HT 币是 \(\big(\tfrac12\big)^4=\tfrac1{16}\)。
推导。似然比 16，后验赔率 16:1：
检验。敏感性：k 连正的后验是 \(\tfrac{2^k}{2^k+1}\)，k=1 时 \(\tfrac23\)、k=4 时 \(\tfrac{16}{17}\)、k=7 时超过 99%。与例题 1 的差别只在先验（这里 1:1，那里 1:999），似然结构完全一样——同一台机器换个先验而已。
面试怎么讲。「先验对半开、似然比 16，所以 16/17」十秒讲完；把通用公式 \(\tfrac{2^k}{2^k+1}\) 报出来，并指出它就是例题 1 把先验改成对半开的版本——展示题型收敛能力。
#例题详解 III：连续参数与后验比较
例题 5：硬币的正面率 \(b\) 未知，先验取 \([0,1]\) 上的均匀分布。掷一次得到正面。此时 \(b\) 的分布是什么？
建模。连续参数的贝叶斯更新：\(b\sim U[0,1]\)，数据是一次正面，似然 \(P(H\mid b)=b\)。
推导。贝叶斯定理的密度形式：\(f(b\mid H)\propto b\cdot 1\)，归一化（\(\int_0^1 b\,\mathrm{d}b=\tfrac12\)）：
检验。密度在 1 处取最大值 2、在 0 处为 0：看到正面后，高正面率从「先验中被平等对待」变为「被数据支持」，信念重心移到后验均值 \(\tfrac{2}{3}\)。一般化：均匀先验下 \(h\) 正 \(t\) 反给 \(\mathrm{Beta}(1+h,1+t)\)，与工具一的共轭结论一致。
面试怎么讲。写出 \(f(b\mid H)\propto b\) 后立刻识别「这是 \(\mathrm{Beta}(2,1)\)」，报密度 \(2b\) 与均值 \(\tfrac23\)；补一句「再掷一次反面就更新为 \(\mathrm{Beta}(2,2)\)、回到均值 \(\tfrac12\)」，展示共轭体系的滚动更新能力。
例题 6：两枚硬币：甲掷 10 次出 4 个正面，乙掷 1000 次出 450 个正面。接下来你要选一枚抛，抛出正面资金翻倍。选哪枚？另一问：甲掷 100 次出 60 个正面、乙掷 1000 次出 550 个正面，哪枚更可能是偏的？
建模。第一问要选「下一次出正面概率更高」的硬币——用 Beta 后验比较 \(P(\text{正})\) 的后验均值。第二问问的是「偏」的证据强度——用显著性（z 值）与效应量两个镜头分别看。
推导。第一问：均匀先验下甲的后验是 \(\mathrm{Beta}(5,7)\)，均值 \(\tfrac{5}{12}\approx0.417\)；乙的后验 \(\mathrm{Beta}(451,551)\)，均值 \(\tfrac{451}{1002}\approx0.450\)。乙的后验均值更高且集中（1000 次数据把不确定性压得很窄），选乙：期望翻倍收益 \(\approx0.900\) 对 \(\approx0.833\)。
第二问：在「硬币公平」的原假设下，\(z=\dfrac{\hat p-1/2}{1/(2\sqrt n)}\)：
检验。两个镜头结论相反：论效应量（偏离幅度）甲偏得更狠（10 个百分点对 5 个）；论证据硬度（显著性）乙强得多（z=3.16 对 2.0，p 值约 0.0016 对 0.046）。「哪枚更可能偏」通常指后者——乙；但完整的回答是把两个镜头都摆出来。回到第一问的选币：那是「哪枚更值得押」的决策问题，答案同样由乙的后验优势胜出，但理由是后验均值高而不是「更可能偏」。
面试怎么讲。第一问报两个后验均值 0.417 与 0.450，选乙并强调「大样本的 45% 比 40% 更可信」；第二问先问清「更偏」的定义，再给 z=2 对 z=3.16 的对比，一句话总结「显著性回答信不信、效应量回答偏多少，别混用」——并链接 019 章的检验细节。
#例题详解 IV：专家的信息价值
例题 7：神秘盒子 30 欧元一个，转手能卖 12、24 或 60 欧，三者等概率。(a) 有位专家能告诉你盒子是否值 60 欧，他说真话的概率 75%、说假 25%。你最多愿意付他多少钱？(b) 若你还被允许做空盒子，这个价码会怎么变？
建模。无信息时的期望价值 \(=\tfrac{12+24+60}{3}=32\) 欧元，买入净期望 \(32-30=+2\)。专家信号 S（「值 60」/「不值 60」）需要先做贝叶斯反转得到后验，再按信号决定买不买；信息价值 = 有信号时的最优期望利润 − 无信号的 \({+2}\)。
推导。(a) 信号为「是」（值 60）：\(P(\text{是})=\tfrac34\cdot\tfrac13+\tfrac14\cdot\tfrac23=\tfrac{5}{12}\)，
（不值 60 时 12 与 24 仍等概率，条件均值 18。）43.2 > 30，买入，利润 13.2。信号为「否」：\(P(\text{否})=\tfrac7{12}\)，\(P(60\mid\text{否})=\tfrac17\)，\(E[\text{价值}\mid\text{否}]=\tfrac17\cdot60+\tfrac67\cdot18=24\lt30\)，不买，利润 0。有专家的期望利润：
(b) 允许做空后，无信息基线仍是 +2（做空期望 \(30-32=-2\)，不做）。有专家时「否」分支从「不买赚 0」变成「做空赚 \(30-24=6\)」：
检验。信息价值恰好翻倍，机制清晰：只能做多时，「否」信号只帮你躲开亏损（省下 −6 的坑，期望贡献 \(\tfrac7{12}\times6=3.5\)）；能做空后同一个信号直接变成正收益来源。数值上 \(5.5=3.5+2\)、\(9=5.5+3.5\)，两个分支的分解账目闭合。上限直觉：即使专家全知全能（75% 换成 100%），信息价值也有限（「是」必买赚 30、「否」不买，期望 \(\tfrac13\times30=10\)，减 2 得 8 欧元），3.5 与 7 都被压在 8 之下，合理。
面试怎么讲。先立框架：「信息价值 = 有信号与无信号的最优期望利润之差，定价不超过它」；(a) 依次给后验 \(P(60\mid\text{是})=\tfrac35\)、条件均值 43.2 与 24、期望利润 5.5、价值 3.5；(b) 一句话点题「做空让看空信号也能赚钱，信息价值从 3.5 翻到 7——行动空间越宽，信息越值钱」，这句就是交易台愿意为数据付费的微缩模型。
#误区与边界
一，丢先验：例题 1 里跳过 1:999 直接报「10 连正几乎必是双头」，会被追问「如果双头币只有万分之一呢」当场击穿。二，似然用错顺序信息：对固定 \(p\) 的偏币假设，似然只数正反个数、与顺序无关；但「另一枚硬币是谁」会随假设联动（例题 3），联合似然要整体重算。三，把「更可能是偏币」与「更值得押」混同：前者是证据硬度（z 值），后者是后验均值与赔付结构（例题 6 两问答得不同）。四，专家题忘了信号要贝叶斯反转：75% 说真话不等于「说是就 75% 值 60」，先验 \(\tfrac13\) 会把它拉到 \(\tfrac35\)。五，信息价值算成「有专家的总利润」而不是「利润差」，漏掉无信息基线 +2。
一，先验改为 Beta 而非两点：用后验均值决策即可（例题 6 第一问的套路）。二，专家部分可靠且可以问多次：多次独立信号等于对数似然比累加，信念逐步收敛。三，「多少个正面才足以确认偏币」：把后验赔率写成 \(\big(\tfrac{p}{1/2}\big)^h\big(\tfrac{1-p}{1/2}\big)^t\times\)先验赔率，解不等式即得最小 \(h\)。四，做空、加倍、止损等更丰富的行动如何改变信息价值：方向一致——行动集合越大、信号可执行的方向越多，信息越贵；这正是例题 7(b) 的推广。
#检查清单
- 我能把贝叶斯判别统一写成「后验赔率 = 先验赔率 × 似然比」，并现场算出双头币题的 \(\tfrac{1024}{2023}\approx 50.6\%\)。
- 我能解释为什么单独一个正面比 HTH 更像偏币证据（\(2p(2p-1)^2\ge0\)），并说出「反面是反向证据」。
- 我能对「一枚掷一次出正、另一枚掷三次出两正」算出第一枚是偏币的后验 \(\tfrac9{17}\)，并说明组合数为何不影响结果。
- 我能用先验对半开 + 似然比 16 秒出 HH 币的 \(\tfrac{16}{17}\)，并给通用式 \(\tfrac{2^k}{2^k+1}\)。
- 我能在均匀先验下把「掷出正面后的 \(b\)」更新为 \(\mathrm{Beta}(2,1)\)（密度 \(2b\)、均值 \(\tfrac23\)），并滚动更新。
- 我能用 Beta 后验均值比较 4/10 与 450/1000 两枚硬币并给出选币理由，同时用 z=2 对 z=3.16 区分显著性与效应量。
- 我能把专家信息定价为「有/无信号最优期望利润之差」，算出神秘盒子的 3.5 欧元，并解释做空后翻倍到 7 欧元的机制。