建模。区别先讲清：联合高斯描述「整体」——等密度线是椭圆、任意线性组合服从一维高斯；条件高斯描述「知道 \(X\) 之后 \(Y\) 剩下的不确定性」——它是从联合里切出的纵截面分布。两者由知识点一的公式连接。

推导。代入 \(\mu_Y+\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_X)\) 与 \(\sigma_y^2(1-\rho^2)\)：

条件均值斜率 \(1\) 与 026 章例题 4 的回归斜率一致——总体回归线就是条件均值的轨迹；条件方差 \(0.75\) 与 \(x\) 无关。

检验。边缘核对：条件均值对 \(X\) 的分布取期望给 \(\mathbb{E}[Y]=0=\mu_Y\)；全方差公式 \(\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(\mathbb{E}[Y\mid X])+\mathbb{E}[\mathrm{Var}(Y\mid X)]=0.25\times1+0.75=1=\sigma_y^2\)，两条边缘都对上。

面试怎么讲。先各用一句话定义联合与条件（椭圆云／切出的截面），再背条件公式代入数值，最后用全方差公式自检——三步都有输出，这题就答满了。

建模。「合并」有两种读法，必须先澄清再算——这本身就是考点。读法一：两个独立随机变量相加（把两杯水倒在一起求总量的分布）。读法二：把两组观测混在一起（或每次随机选用其中一条高斯生成一个样本），即混合分布。

推导。读法一（卷积）：独立高斯相加仍是高斯，均值相加、方差相加：

读法二（混合）：以概率各半取 \(N(1,1)\)，密度是 \(\tfrac12\phi_{(1,1)}+\tfrac12\phi_{(1,1)}=\phi_{(1,1)}\)——两个相同组件的混合就是原分布，参数不变，仍为均值 1、标准差 1。若两组件不同（如 \(N(0,1)\) 与 \(N(3,1)\) 各半），混合是双峰、不是任何高斯——「混合不保型、卷积保型」是本题的教学点。

检验。读法一的方差 \(2\gt1\)：相加会放大不确定性，合理；读法二的均值 \(=\tfrac12(1)+\tfrac12(1)=1\)、方差 \(=\tfrac12(1)+\tfrac12(1)+0=1\)（组件相同时组间方差为零），与直接读密度一致。

面试怎么讲。第一句反问「合并是指相加还是混合？」——澄清歧义本身就是得分；然后两条路各给一行结论，附「卷积保高斯、混合一般不保」的总结。若被追问「两台独立秤读数平均」：那是相加除二，\(N(1,\tfrac{1}{\sqrt2})\)，方差反而变小，与 028 章例题 4 的融合公式同源。

建模。三个事件都是「过原点直线的某一侧」，用知识点二的量角三步法。

推导。(i) 对称性直接给 \(\tfrac12\)。(ii) \(X+2Y\sim N(0,1+4)=N(0,5)\)，关于零对称给 \(\tfrac12\)——方差 5 不影响对称事件的概率。(iii) 两条边界线：\(x=0\)（纵轴）与 \(x+y=0\)（斜率 \(-1\) 直线）。\(X\gt0\) 是纵轴右侧半平面，\(X+Y\gt0\) 是直线 \(x+y=0\) 的右上侧；两半平面的交集是圆心角为 \(\tfrac34\pi\) 的楔形（从角 \(-\tfrac\pi4\) 的边界扫到角 \(\tfrac\pi2\) 的边界）：

检验。数值 sanity：\(X\) 与 \(X+Y\) 的相关系数 \(\mathrm{Cov}(X,X+Y)/\sqrt{1\cdot2}=1/\sqrt2\approx0.707\)，代入 \(\arcsin\) 公式 \(\tfrac14+\tfrac{\arcsin(0.707)}{2\pi}=\tfrac14+\tfrac{\pi/4}{2\pi}=\tfrac38\)——两条路线互证，稳。

面试怎么讲。(i)(ii) 各一句对称性；(iii) 画图量角给 \(3/8\)，再主动用 \(\arcsin\) 公式复核（相关系数 \(1/\sqrt2\)），展示两条独立路径。

建模。条件概率 = 交集除以条件事件；两者都是半平面，直接复用例题 3 的楔形。

推导。分母 \(P(X+Y\ge0)=\tfrac12\)（对称性），分子为例题 3(iii) 的 \(\tfrac38\)：

检验。直觉核对：已知和为正，\(X\) 更可能为正（正相关 \(1/\sqrt2\) 传递信息），\(\tfrac34\gt\tfrac12\) 方向正确；用 \(\arcsin\) 公式交叉验证 \(P(X\ge0,X+Y\ge0)/P(X+Y\ge0)=\tfrac38/\tfrac12=\tfrac34\) 一致。量级核对：相关 \(0.707\) 时后验从 0.5 挪到 0.75，介于独立（0.5）与完全相关（1）之间，落点合理。

面试怎么讲。一句话点名「与 S29(iii) 同一块楔形，只多除了一个 \(\tfrac12\)」，先把 \(\tfrac34\) 报出来，再补量角图；能指出「条件事件把质量重新归一化到半平面」即到位。

建模。相关矩阵 \(R\) 必须半正定；等相关结构下 \(R\) 的特征值有显式表达。

推导。写成 \(R=(1-p)I+p\,\mathbf{1}\mathbf{1}^T\)：沿 \(\mathbf{1}\) 方向特征值 \(1+2p\)，正交补上（二维）特征值 \(1-p\)。半正定要求二者非负：

推广到 \(n\) 个等相关变量：特征值 \(1+(n-1)p\) 与 \(1-p\)（\(n-1\) 重），给出 \(-\tfrac{1}{n-1}\le p\le1\)——变量越多，负相关的一端越靠近 0。

检验。构造核对：三变量取 \(Z_1,Z_2\) iid，令 \(X=Z_1,\ Y=Z_2,\ Z=-\tfrac{X+Y}{\sqrt2}\)，标准化后两两相关恰为 \(-\tfrac12\)——下界可达；上界 1 由完全共线实现。\(n=2\) 时公式退回 \([-1,1]\)，与一维相关系数域吻合。

面试怎么讲。一句话点破「相关矩阵半正定」，写出特征值分解（\(I\) 与 \(\mathbf{1}\mathbf{1}^T\) 的凸组合），端点随口给构造。易错点预告：别答 \([-1,1]\)——那是两个变量的答案。

建模。(a) 用「等权组合的方差」定义分散度：设每条策略收益方差 \(\sigma^2\)，等权平均的方差为 \(\frac{\sigma^2}{n}\bigl(1+(n-1)\rho\bigr)\)，把它写成 \(\sigma^2/N_{\text{eff}}\) 读出有效个数。(b) 用 \(3\times3\) 相关系数矩阵半正定（行列式非负）。

推导。(a) 代入 \(n=1000\)、\(\rho=0.1\)：

继续加策略：\(n\to\infty\) 时 \(N_{\text{eff}}\to1/\rho=10\)——饱和。特征值视角同样清晰：等相关矩阵的最大特征值 \(1+(n-1)\rho\approx100.9\) 承载了几乎全部方差，其余 \(999\) 个方向只有 \(1-\rho=0.9\)，组合风险被「市场公共因子」这一根轴锁死。(b) 记 \(\mathrm{corr}(A,C)=x\)，相关矩阵行列式非负：

检验。(a) 端点核对：\(\rho=0\) 给 \(N_{\text{eff}}=n\)，\(\rho=1\) 给 1；(b) 端点核对：\(x=1\)（三者共线）与 \(x=2(0.9)^2-1=0.62\)（对应「\(B\) 恰为 \(A\)、\(C\) 的等权平均型构造」）都让行列式为零，可行。直觉核对：\(A\)、\(C\) 都与 \(B\) 高度相关，二者不可能不相关——下界 0.62 为正与此相符，且严格小于 \(\rho^2=0.81\)（「相关不能简单平方传递」）。

面试怎么讲。(a) 先报 9.91，强调「千条策略约等于十条独立的，再加也只往 10 靠」；(b) 报 [0.62, 1]，一句「相关矩阵半正定、行列式非负」交代来源。主动把 (a) 连到风险预算：真实基金的相关结构不等相关，但 \(N_{\text{eff}}\) 公式给出的量级直觉依然有效。

建模。每根杆长 \(L_i=1+e_i\)，\(e_i\) 标准差 \(\sigma=0.1\) 米；总长 \(\sum L_i = 10+\sum e_i\)，问总误差的标准差相对 10 米的百分比。

推导。独立情形：\(\mathrm{Var}(\sum e_i)=10\sigma^2\)，总误差 \(=\sqrt{10}\times0.1\approx0.316\) 米，相对误差 \(0.316/10\approx3.16\%=\sqrt{10}\,\%\)。相关情形（两两相关 \(r\)）：

读数：\(r=0\) 给 \(\sqrt{10}\%\approx3.16\%\)；\(r=1\) 给 \(\sqrt{100}\%=10\%\)（完全同涨同跌，无分散）；临界 \(r=-\tfrac19\)（即 \(-1/(n-1)\)，例题 5 的下界）给 0——总方差恰好抵消。源题答案里「\(r=-1\) 误差为零」对应的是 \(n=2\) 的特例（两根杆完全负相关恰相抵消）；十根杆两两 \(-1\) 代数上不允许，可容许的最强对冲就停在 \(-1/9\)。

检验。量纲与单调性：误差随 \(r\) 单调上升，两端 \(3.16\%\to10\%\)；\(\sqrt n\) 法则（\(3.16=\sqrt{10}\)）与独立和的教科书结论一致；PSD 界 \(-\tfrac19\) 与例题 5 完全对齐。

面试怎么讲。先答独立情形的 \(\sqrt{10}\%\approx3.2\%\)（强调「百分比下降不是 1%，因为 \(\sqrt n\)」），再给 \(\sqrt{10+90r}\%\) 一般式，最后主动指出负端的代数边界 \(-1/9\)——把例题 5 的相关知识用在这，形成连环得分。

建模。这是分支过程（Galton–Watson process）：每代每个个体独立产生 \(\mathrm{Pois}(\lambda)\) 个后代。分布用概率母函数（pgf）迭代最干净：单代后代 pgf 为 \(G_1(s)=\mathbb{E}[s^{N}]=e^{\lambda(s-1)}\)。

推导。从 1 个个体出发，\(t\) 代后的 pgf 满足迭代：

\(t=1\)：\(G_1=e^{\lambda(s-1)}\) 即泊松\((\lambda)\)；\(t=2\)：\(G_2(s)=\exp\bigl(\lambda(e^{\lambda(s-1)}-1)\bigr)\)——泊松随机个泊松的复合（Neyman A 型分布），已经不是泊松。均值走分支性质：\(\mathbb{E}[Z_t]=\lambda^t\)（每代乘一次均值 \(\lambda\)）。灭绝概率 \(q=P(Z_t\to0)\) 是 pgf 的最小不动点：

\(\lambda\le1\) 时唯一解 \(q=1\)（必然灭绝）；\(\lambda\gt1\) 时另有 \(q\lt1\) 的解（永久存活概率 \(1-q\gt0\)）。

检验。小情形核对：\(t=1\) 退化回泊松；均值 \(\lambda^t\) 对 \(t=0,1\) 给 1、\(\lambda\) 正确；\(\lambda=0\) 时每步归零，\(q=1\)。数值例：\(\lambda=2\) 时解 \(q\approx0.203\)（存活率约 80%）。

面试怎么讲。先点名「分支过程、母函数迭代」，写出 \(G_t=G_1\circ G_{t-1}\)；说明除了 \(t=1\) 都不是泊松（复合结构）；灭绝概率方程 \(q=e^{-\lambda(1-q)}\) 与临界条件 \(\lambda\le1\) 收尾。完整的分支过程与灭绝讨论在 022 章。

建模。泊松过程 \(\{N(t)\}\)（率 \(\lambda\)）有独立平稳增量；间隔 \(T\) 是「下一个事件等待时间」。

推导。「间隔大于 \(t\)」等价于「\((0,t]\) 内没有事件」：

由此立得无记忆性：\(P(T\gt s+t\mid T\gt s)=P(T\gt s+t)/P(T\gt s)=e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}\)——等了 \(s\) 久不改变再等 \(t\) 的分布，这是指数分布的签名。第 \(k\) 个事件的到达时间是 \(k\) 个 iid 指数之和，服从 Gamma（Erlang）\((k,\lambda)\)。

检验。量纲核对：\(\lambda\) 单位是「每秒事件数」，\(\lambda t\) 无量纲；均值 \(1/\lambda\) 与「每 \(1/\lambda\) 秒一个事件」的直觉一致；方差 \(1/\lambda^2\)（变异系数 1，指数族特征）。

面试怎么讲。一句「间隔是参数 \(\lambda\) 的指数分布」加两行推导（存活函数 = 零事件概率），再主动送出两条延伸：无记忆性、第 \(k\) 次到达是 Erlang——大概率正是追问的下一问。

建模。权重 \(w\) 放 A、\(1-w\) 放 B；期望收益相同意味着任何配置期望相同，最优化目标只剩方差：

推导。对 \(w\) 求导令零，解得最小方差权重：

代入得最小方差：

检验。结果低于 \(\sigma_A=20\%\)：哪怕 B 又差又吵，只要 \(\rho\lt1\) 就有分散收益；\(\rho=1\) 时代入公式给 \(\sigma_{p,\min}=\min(\sigma_A,\sigma_B)=20\%\)（退化为全仓 A），\(\rho\lt\sigma_A/\sigma_B\approx0.667\) 时甚至存在零方差组合（本题 0.5 未达到，故最小值非零）——端点行为全对。

面试怎么讲。先指出「同期望 ⇒ 最小方差即最优」这一步简化，再报 \(6/7\) 对 \(1/7\) 与 19.6%；主动提 \(\rho=1\) 与零方差临界 \(\rho=\sigma_A/\sigma_B\) 两个端点，展示公式而不是背数字。