建模。6 个弹仓排成圆圈，2 颗子弹。标准假设（面试必须先声明）：两颗子弹相邻。已发生的事件 \(S\) 是「第一枪是空的」。要比较两个条件概率：再转后的死亡概率与不转直接扣的死亡概率 \(P(\text{死}\mid S)\)。

推导。再转：转轮把击锤重新均匀随机化，与第一枪无关，死亡概率 \(=\tfrac{2}{6}=\tfrac13\)。不转：条件化在 \(S\) 上，击锤当前等可能停在 4 个空弹仓之一。设子弹占 1、2 号仓，空仓为 3、4、5、6 号；扣动扳机后击锤移到下一仓，只有当前停在 6 号仓时下一仓（1 号）才是子弹，故

检验。直觉核对：相邻的 2 颗子弹在圆圈上形成「一段 2 长的雷区」，既然第一枪落在了 4 格长的安全区里，第二枪继续走下去只有安全区的一端接着雷区，撞雷机会是 4 选 1。反证假设敏感性：若两颗子弹相对（如 1 号、4 号仓），则 4 个空仓中有 2 个的下一仓是子弹，不转死亡概率 \(\tfrac24=\tfrac12\gt\tfrac13\)，结论反转成「该转」。可见结论完全依赖弹仓布局。

面试怎么讲。第一句先声明假设「设两颗子弹相邻」；然后一句话给出核心：再转是先验概率 \(\tfrac13\)，不转是条件概率 \(\tfrac14\)，条件信息有利所以不转；最后主动补一句「若子弹不相邻，比如相对放置，不转变成 \(\tfrac12\)，就该转了」——展示你理解结论的边界。

建模。两问同型，都是几何等待：成功概率分别为 \(p=\tfrac12\) 与 \(p=\tfrac16\)，用首步递推现场推导而不是背 \(\tfrac1p\)。

推导。硬币：\(E=\tfrac12\cdot 1+\tfrac12(1+E)=1+\tfrac12E\)，解得 \(E=2\)。骰子：掷一次，以概率 \(\tfrac16\) 出 6 结束，以概率 \(\tfrac56\) 不出 6、过程完全重来：

检验。与几何分布期望 \(\tfrac1p\) 一致；量级合理（正面至少 1 次、6 至少 1 次，且都比 1 大得多才对）。再退一步核对：等「1 或 2 或 3」应为 \(\tfrac{1}{1/2}=2\)，与硬币情形一致，公式自洽。

面试怎么讲。直接报「几何分布，期望 \(\tfrac1p\)，所以是 2 和 6」，然后立刻补一句递推式 \(E=1+\tfrac56E\) 展示推导能力；主动延伸：「若问方差，几何分布方差是 \(\tfrac{1-p}{p^2}\)」。

建模。优惠券收集问题（coupon collector）。分阶段：已收集到 \(k\) 个不同面时，下一掷「掷出新面」的概率 \(p_k=\tfrac{6-k}{6}\)，该阶段是参数 \(p_k\) 的几何等待。

推导。各阶段期望相加：

检验。逐项算：\(1+1.2+1.5+2+3+6=14.7\)。最后阶段「只差一个面」独占 6 次，占了总期望的四成——越来越难的尾巴是这类问题的特征。推广到 \(n\) 面骰子：\(nH_n\approx n\ln n+\gamma n\)，面试常追问这个渐近形式。

面试怎么讲。先说「这是 coupon collector，分阶段几何」，写出 \(6H_6=14.7\)；主动指出最后一张优惠券贡献 6、第一张贡献 1，展示对结构而不只是答案的把握；若被追问推广，给 \(nH_n\) 与 \(n\ln n\) 渐近。

建模。停止时刻 \(K\) 服从几何分布 \(P(K=k)=\big(\tfrac56\big)^{k-1}\tfrac16\)，收益是 \(K\) 的函数 \(\tfrac1k\)，故期望是级数 \(E=\sum_k \tfrac1k P(K=k)\)。注意这不是例题 2 的「等 6 要 6 次」，奖励函数改变了问题的本质。

推导。写出级数并认出对数形状：

关键一步是 \(\big(\tfrac56\big)^{k-1}\tfrac16=\tfrac15\big(\tfrac56\big)^k\)，把级数整理成标准形 \(\sum \tfrac{x^k}{k}=-\ln(1-x)\)，取 \(x=\tfrac56\) 得 \(-\ln\tfrac16=\ln 6\)。

检验。上下界夹逼：奖励恒不超过 1，且 \(P(K=1)=\tfrac16\) 已经贡献 \(\tfrac16\approx 0.167\)，故答案应落在 \([0.167, 1]\) 内，0.358 合理。常见错误是写成 \(\tfrac{1}{E[K]}=\tfrac16\)：期望的倒数不等于倒数的期望，且 \(f(x)=\tfrac1x\) 是凸函数，Jensen 不等式要求 \(E[\tfrac1K]\ge \tfrac{1}{E[K]}\)，0.358 恰好严格大于 0.167。

面试怎么讲。先明确「求的是 \(E[\tfrac1K]\) 而不是 \(\tfrac{1}{E[K]}\)」，写出级数，指出用 \(\sum \tfrac{x^k}{k}=-\ln(1-x)\) 收尾，报出 \(\tfrac{\ln 6}{5}\approx 0.36\) 元；主动提 Jensen 检验，这一步几乎必然赢得好感。

建模。轮流独立射击，每轮「我射一箭、你射一箭」，任一方命中即结束。我要的是「我的首次命中早于你的首次命中」的概率。两条几何等待时间在竞争，用首步递推最直接。

推导。设 \(W\) 为我获胜的概率。第一箭：以概率 \(p\) 我直接命中获胜；以概率 \((1-p)\) 我未中，轮到你：以概率 \(q\) 你命中我输；以概率 \((1-p)(1-q)\) 你也未中，局面回到开局。故：

检验。代入极端值：\(p=1\) 得 1（我百发百中必赢）；\(q=1\) 得 \(p\)（你百发百中时我只有第一箭的机会）；\(p=q=\tfrac12\) 得 \(\tfrac{1/2}{1/2+1/2-1/4}=\tfrac47\gt \tfrac12\)，先手优势量化为 \(\tfrac47\) 对 \(\tfrac37\)。

面试怎么讲。一句话建模「先手优势来自每轮我先出手」，写出几何级数求和或递推式，给出封闭形 \(\tfrac{p}{p+q-pq}\)；主动补 \(p=q\) 时的 \(\tfrac{1}{2-p}\)，把「先手值多少」讲清楚。

建模。每次过桥尝试独立地以 \(\tfrac12\) 概率成功（前进一岛）、\(\tfrac12\) 概率失败（回到 1 号岛）。失败会清空全部进度，所以不能用「每段期望 2 次」简单相乘——那只有在失败不回退时才成立。设 \(g_k\) 为「当前在第 \(k\) 座岛、从现在起到达第 N 座岛的期望过桥次数」。

推导。在第 \(k\) 座岛尝试过桥：花 1 次；成功（概率 \(\tfrac12\)）到第 \(k+1\) 座岛；失败（概率 \(\tfrac12\)）回到第 1 座岛：

从 \(k=1\) 出发逐个回代：\(g_2=g_1-2\)，\(g_3=g_1-6\)，\(g_4=g_1-14\)，归纳得 \(g_k=g_1-(2^k-2)\)。代入边界 \(g_N=0\) 得

再用第二种方法交叉验证：设 \(A_j\) 为整个过程中在第 \(j\) 段上尝试过桥的期望次数。每次到达第 \(j+1\) 岛都来自第 \(j\) 段的一次成功，故 \(A_{j+1}=\tfrac12 A_j\)，从而 \(A_j=2^{\,j-1}A_1\)；而回到 1 号岛的次数给出 \(A_1=1+\tfrac12\sum_j A_j\)，解得 \(A_1=2^{N-1}\)，总次数 \(\sum_{j=1}^{N-1}A_j=2^{N-1}(2-2^{-(N-2)})=2^N-2\)。两条路一致。

检验。小情形枚举：\(N=2\) 时代入公式得 2——一段桥、几何等待 \(\tfrac{1}{1/2}=2\)，正确；\(N=3\) 得 6。指数增长来自「越到后面的岛，失败一次要重走的路越长」，这与例题 3 的「越来越难的尾巴」同构。对照变式：若坏桥只是让你留在原岛（不回起点），则每段独立几何、每段期望 2，总期望 \(2(N-1)\)，线性增长——两种规则差一个指数，面试时必须先问清规则。

面试怎么讲。先复述规则确认「失败回起点」，然后设状态变量写递推，解出 \(2^N-2\)；主动对比「失败原地不动则只有 \(2(N-1)\)」，这一个对比就能体现出你对建模细节的敏感。

建模。红糖单调减少、蓝糖数量不变，过程自然分阶段：当袋中还剩 \(k\) 颗红糖时，每次摸中红糖的概率 \(p_k=\tfrac{k}{6}\)，摸中蓝糖则原地放回、状态不变。于是每个阶段是参数 \(p_k\) 的几何等待，与优惠券收集同型（只是方向相反：这里目标越来越稀有）。

推导。剩 \(k\) 颗红糖时吃掉下一颗红糖的期望摸糖次数为 \(\tfrac{1}{p_k}=\tfrac{6}{k}\)。从 \(k=3\) 走到 \(k=0\)：

检验。量级与结构：最后一颗红糖阶段独占 6 次（此时袋中 1 红 3 蓝单次成功率仅 \(\tfrac16\)），与例题 3 的尾巴效应一致。小情形核对：若只有 1 红 1 蓝，\(E=\tfrac21=2\)；若 1 红 0 蓝，\(E=1\)，都直接可验。推广：\(r\) 红 \(b\) 蓝时 \(E=(r+b)\sum_{k=1}^{r}\tfrac1k\)。

面试怎么讲。点出「放回蓝糖 = 失败不改状态，吃掉红糖 = 进入下一阶段」，每阶段几何、期望 \(\tfrac6k\)，求和报 11；主动给一般式 \((r+b)H_r\)，把一道具体题升级成一个公式。